Nombre d'Archimède : la spirale d'Archimède

Spirale & quadrature 

La spirale d'Archimède est la courbe décrite par un point en déplacement uniforme sur une droite en rotation elle-même uniforme autour d'un point. 

Elle a été introduite par Archimède pour réussir la quadrature du cercle (l'approximation de pi), c'est-à-dire la construction d'un segment dont la longueur est égale à la circonférence du cercle. Prenons le point sur la courbe de coordonnée polaire t=3pi/2 (le point A du dessin précédent). Traçons la tangente à la spirale en ce point, et notons H le point d'intersection avec l'axe des abscisses. Alors Archimède démontre que la longueur AH vaut exactement la circonférence du cercle OA. Cependant, cela ne fait que déplacer le problème : comment construire la tangente à une courbe ? Il faudra attendre au moins le XVIIè siècle, et Newton et Leibniz, pour que l'on sache bien aborder cette question !

Nombre d'Archimède : la spirale d'Archimède

Spirale & quadrature 

La spirale d'Archimède est la courbe décrite par un point en déplacement uniforme sur une droite en rotation elle-même uniforme autour d'un point. Son équation polaire est r=at.

 Elle a été introduite par Archimède pour réussir la quadrature du cercle (l'approximation de pi), c'est-à-dire la construction d'un segment dont la longueur est égale à la circonférence du cercle. Prenons en effet le point sur la courbe de coordonnée polaire t=3pi/2 (le point A du dessin précédent). Traçons la tangente à la spirale en ce point, et notons H le point d'intersection avec l'axe des abscisses. Alors Archimède démontre que la longueur AH vaut exactement la circonférence du cercle OA. Cependant, cela ne fait que déplacer le problème : comment construire la tangente à une courbe ? Il faudra attendre au moins le XVIIè siècle, et Newton et Leibniz, pour que l'on sache bien aborder cette question !

Nombre d'Archimède : pi à travers les âges

 Le premier record de décimales de p est à mettre au compte de ce mathématicien de Syracuse. Archimède obtient les 3 premières décimales de p : 3,141.

Il avait conçu une méthode basée sur l’encadrement d’un cercle par une succession de polygones aux côtés en nombre croissant.

Archimède exécuta le premier calcul théorique. Dans un cercle de rayon 1, il inscrit (à l’intérieur) un triangle et lui en circonscrit (à l’extérieur) un autre, puis calcul la moyenne des 2 périmètres. Il recommence avec un hexagone (6 côtés), puis un dodécagone (12 côtés) etc…jusqu’à 96 côtés.

Le savant grec Archimède a ainsi utilisé des polygones de 96 côtés, et détermina que le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre à une valeur proche de » 3,1428

Formule: 

Recherche : le nombre d'archimède

Archimède est avant tout un géomètre.
2a-1. Approximation du nombre de pi
Dans son ouvrage "Mesure du cercle", il élabore une méthode permettant de donner une approximation précise de pi.
En utilisant des polygones réguliers de 96 côtés circonscrits et inscrits dans le cercle, il parvient à démontrer que pi est compris entre 22/7 et 223/71.
Il élabore en outre des tables de sinus 

Découverte : le nombre d'archimède

Le nombre d'Archimède (à ne pas confondre avec la constante d'Archimède, π), est un nombre sans dimension utilisé en mécanique des fluides pour caractériser le mouvement d'un corps dans un fluide, dû à leur différence de densité. Il s'agit du rapport entre les forces gravitationnelles, les forces d'inertie et les forces visqueuses.
Ce nombre porte le nom d'Archimède, un mathématicien et ingénieur grec.
On le définit de la manière suivante

avec

• g - accélération gravitationnelle
• ρ_l - masse volumique du fluide
• ρ - masse volumique de la particule
• μ - viscosité absolue du fluide
• L_c - longueur caractéristique
• Ga - nombre de Galilée

Il est égal au carré du nombre de Galilée, plus couramment utilisé dans certaines disciplines, notamment le génie des procédés (on rencontre toutefois les deux).

Nombre d'Archimède

En fait, le « nombre d'Archimède », p , n'avait pas encore le statut de nombre : Archimède entendait là le rapport L/d du périmètre du cercle à son diamètre :

    le périmètre du cercle (circonférence) est donc donné par L = p x d
    ou encore L = 2 x p x r.

Ainsi : si désigne l'aire du disque de rayon r, de diamètre d, alors /r² est comme L/d. C'est dire que l'aire d'un disque de rayon r est p x r².

La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle au centre â correspondant : = pr x â°/180 ou, si â est exprimé en radians, tout simplement : = â x r. De même, l'aire d'un secteur d'ouverture â sera S = pr² x â/360 ou, si â est exprimé en radians : S = r² x â/2.